Lu pour vous

Cette rubrique se propose de commenter un livre qui a particulièrement plu à l'un d'entre nous.
Si, au cours de vos lectures, vous avez remarqué un ouvrage particulièrement intéressant, faites-nous le savoir en nous envoyant un petit commentaire suivi éventuellement d'un court extrait significatif, afin de le publier dans ces colonnes.

Nous ouvrons le feu avec un ouvrage qui nous a été signalé par Catherine Dufossé :

Proofs from THE BOOK
par Martin Aigner et Gûnter M.Ziegler
Editions Springer (www.springer.de)

Une traduction française va bientôt sortir, toujours aux éditions Springer, sous le titre :

Raisonnements divins
traduit de l'anglais par Jean-Marie Morvan

Ce livre a été écrit en homage au mathématicien Paul Erdös, et présente un choix d'une trentaine de ce qu'il considérait comme ses plus belles démonstrations. D'après lui, "THE BOOK" serait le livre détenu par Dieu, où sont écrites les mathématiques ...

Catherine Dufossé nous raconte ci-dessous un extrait du premier chapitre.
Il s'agit de la quatrième des six démonstrations de ce chapitre pour prouver qu'il existe une infinité de nombres premiers.

En fait, on va montrer plus précisément que, pour tout réel positif x, le nombre de nombres premiers inférieurs à x est plus grand que ln(x)-1.

La figure ci-dessous qui représente la courbe de la fonction , montre clairement que si est la partie entière de , on a :

Cette somme est elle-même inférieure à la somme des inverses des nombres entiers dont les seuls diviseurs premiers sont les nombres premiers inférieurs à (puisque sont parmi ces nombres). Appelons ces nombres premiers inférieurs à .
Remarquons que cette dernière somme comporte une infinité de termes, mais elle peut s'écrire :

les sommes étant des séries géométriques convergentes.
On a donc à ce stade :

ce qui prouve déjà qu'il y a une infinité de nombres premiers (sinon, le produit des pour serait majoré par le produit de tous les , et la fonction serait elle aussi majorée).

Continuons notre chemin ; écrivons ; comme le i-ième nombre premier est supérieur à   (on a égalité seulement pour et ), et . Finalement :

ce qui prouve bien notre assertion.

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Converted by Mathematica      September 24, 2001