Une approche expérimentale de  

        A l'école primaire on utilisait souvent  comme valeur approchée de . Depuis la mise sur le marché de calculatrices à bas prix, cette pratique est sans doute moins répandue. L'étude qui suit a pour but, à partir d'une expérimentation, de rendre moins arbitraire l’utilisation de cette fraction, d’en découvrir d’autres et de conduire une réflexion sur le nombre .

 

Diverses définitions de   :

 

        On peut envisager de caractériser   de deux manières[1] :

- comme rapport de la longueur de la circonférence d'un cercle et de son diamètre,

- comme rapport de l'aire du disque et de l'aire du carré ayant pour côté son rayon.

 

        Le concept de rapport de longueur ou d’aire est à considérer avec prudence. En réalité, ce qui est recherché, comme dans l’antiquité grecque, c’est une mesure commune permettant de mesurer, en nombres entiers, ces deux grandeurs : longueur de la circonférence  et diamètre, ou aire du disque et aire du carré. En cas d’impossibilité de trouver une mesure commune, telle que chaque grandeur soit un multiple exact de cette mesure commune, ce qui est le cas des grandeurs incommensurables, on se contente d’une approche  « au mieux ».

 

Le nombre et les fractions continues[2] :

 

On peut remarquer que la valeur   est  la première réduite de   dans le développement en fractions continues. Les suivantes sont et . Ces réduites  sont intéressantes dans la mesure où elle réalisent une bonne approximation du réel dont elles proviennent. 

On peut imaginer une méthode simple permettant de vérifier que   est une bonne approche, même la meilleure approche pour une fraction dont le dénominateur est à un seul chiffre. Si on est un peu courageux et si on dispose de suffisamment de moyens on peut même tester, ou trouver, les valeurs et  .

 

La manip à faire :

 

On se munit de carrés et de disques découpés dans un matériau homogène, du plastique par exemple. L’idéal serait de disposer de carrés de côtés  R et de disques de même rayon R.

Pour mesurer les aires du disque et du carré, au lieu de prendre des unités de plus en plus petites,  on essaie de mesurer d disques de rayon R avec n carrés de coté R comme unité.

Sur un plateau d'une balance,  on met d disques de rayon R et sur l'autre n carrés de coté R en recherchant le meilleur équilibre. Comme l'équilibre n'est jamais atteint, on le réalise avec des poids additionnels (marqués en grammes par exemple) ou éventuellement du sable.

         On peut partir de d = 1, puis augmenter d'une unité les valeurs de d. On recherche, par tâtonnements, la valeur de l’entier n pour avoir le meilleur équilibre. Celui-ci correspond, en fait, au moment où les plateaux de la balance basculent d’un coté à l’autre. On note les valeurs de  d,  de  n et la charge additionnelle ch (en grammes) pour établir l’équilibre.

 

 

Simulation :

 

      Avec Maple on peut simuler l'expérience. Le petit programme suivant est destiné à faire parcourir à d la plage des entiers de 1 à 999, en recherchant pour chaque valeur de d la valeur de n telle que la faction  soit la plus proche de .

> er:=1: ermin:=er:

for d from 1 to 999 do

  n:=floor[3] (Pi*d):

  delta1:=evalf(Pi-n/d):

  delta2:=evalf((n+1)/d-Pi):

  if delta1<delta2 then delta:=delta1: ser:=+1

                   else delta:=delta2: ser:=-1 fi:

  if delta<er then er:=delta: dmin:=d: nmin:=n+(1-ser)/2 fi:

  if er<ermin then print(d,nmin/dmin,ser*er): ermin:= er fi:

 od:

print(`meilleur résultat jusqu'à d=999 .`) ;

 

L’affichage donne, à chaque amélioration de l’erreur, dans l’ordre : la valeur de d, le numérateur n de la meilleure fraction trouvée  et la différence    (le signe indiquant le sens de l'erreur ) :

 

Remarques sur la simulation :

 

     On peut remarquer que, jusqu'à   d = 56   la fraction    est la meilleure approximation. Ensuite, on trouve des fractions dont le dénominateur est à deux chiffres mais qui n’améliorent pas sensiblement l’approche de , c'est la réduite suivante[4] du développement en fraction continue de ,  c'est-à-dire   qui devient le meilleur résultat, puis , et ceci jusqu'à la valeur   d =  999.

 

 L’égalité , à la manière d’Archimède :

 

            Rappelons tout d’abord les définitions de et de . Pour un cercle de rayon R,  si on note  L  la longueur de sa circonférence et A l’aire du disque limité par ce cercle, on peut poser  et .

La démonstration d’Archimède[5], qui permet de conclure à l’égalité de et de , consiste à découper le disque en 2n secteurs égaux et à approcher la longueur de la circonférence par les cordes de ces secteurs ; en étalant sur une droite les triangles ainsi obtenus, on obtient une approche de l’aire A du disque ainsi qu’une approche de la longueur L de la circonférence.

 

On peut donner une approche très visuelle de l’égalité à démontrer en trois figures, donnant respectivement : le découpage du disque en 2n secteurs, puis en matérialisant les cordes et enfin en mettant “à plat” les triangles et les secteurs.

 

On fait successivement trois séries de trois figures, l’une pour n=4 , l’autre pour n=8 puis

 

 pour n=16  :

                     

 

     figure 1                                                                figure 2 

figure 3

 

Pour n = 8 le on distingue encore la ligne polygonale et la circonférence

 

 

 

 

 

 

                              

     figure 4                                                                           figure 5 

figure 6

 

 

Pour n = 16, la circonférence et la ligne polygonale sont quasiment confondues

 

 

 

               

     figure 7                                                                        figure 8 

figure 9

Conclusion :

 

            Sans faire appel à des notions de convergence, on peut se convaincre, en observant les figures ci-dessus, que le rectangle a une base qui tend vers la demie-longueur de la circonférence tandis que sa hauteur se rapproche du rayon du cercle. On déduit que l’aire du rectangle tend vers la valeur  , et comme cette aire est constamment égale à la somme des aires des 2n triangles,  il devient évident qu’elle est de plus en plus proche de l’aire des  2n secteurs, dont la valeur est égale à  A.

On peut donc conclure que , ou encore en divisant les deux membres par R² , on trouve que .

 

 

 

Quelques remarques sur la manip :

 

Pour faire l’expérience complète il faut disposer de plus de 113 disques et de plus de 355 carrés[6]. La mise en évidence de  nécessite beaucoup moins de matériel : une dizaine de disques et une trentaine de carrés.

 

Il faut aussi une balance à plateaux. Par contre, les poids marqués ne sont pas indispensables, si on se contente de prouver que  est la meilleure approximation – elle correspond au tas de sable le plus petit.

 

Pour montrer que le rayon ne joue aucun rôle, il serait souhaitable de faire l’expérience avec des disques et des carrés plus grands ou plus petits (mais toujours d’un rayon égal au côté du carré).

 

La manip pour être valable doit utiliser des pièces bien usinées et d’un matériau bien homogène et d’épaisseur constante. Le contrôle de la qualité de ces pièces est facile, car il suffit de mettre deux carrés accolés par un coté en superposition d’un disque, pour voir si le diamètre du disque est bien le bon.

 

 

Quelques notions sur les fractions continues[7] :

 

Pour une approche rapide de cette notion, on peut donner quelques exemples de développements de nombres réels en  faisant appel à Maple :

 

> with(numtheory)[8]:

Exemple 1 :

> sqrt(3)=cfrac (sqrt(3),6);

Exemple 2 :

> sqrt(2)=cfrac (sqrt(2),6);

Exemple 3 :

> 5/3=cfrac (5/3,6);

Exemple 4 :

> Pi=cfrac (Pi,6);     

 

 

On obtient les réduites en arrêtant le développement à un certain rang. Les premières réduites données ci-dessous sont obtenues arrêtant le développement au rang 1, 2, 3 et 4 et en remplaçant les pointillés par zéro :

 

 ,          ,         , 

 

On retrouve bien  les trois fractions déjà vues : ,   et . Par contre la quatrième réduite, qui est égale à , est hors de portée de l’expérimentation. Elle correspond à une approche de avec une précision de 10^-9 .

 

            On préfère en général   à   car, pour un dénominateur sensiblement le même,  l’approche de est bien meilleure : 0,2 10^-6 au lieu de 0,8 10^-4.

 

Quelques repères sur  :

 

La lettre grecque , déjà utilisée par l’anglais William OUGHTRED[9] (1574-1660), pour désigner le fameux quotient de la circonférence d'un cercle à son diamètre, a été utilisée  systématiquement  par un autre anglais JONES William (1675-1749), dans un manuel de mathématiques élémentaires écrit en 1706.

Cette notation a été définitivement adoptée par EULER et LAMBERT. A signaler aussi la fin des incertitudes sur ce nombre :

- est irrationnel : LAMBERT, 1761

- est transcendant : LINDEMANN, 1882.