Côté d'un nombre

Côté de N, c'est ainsi que les Chinois, dès le 1^ier siècle, désignaient la racine carrée d'un nombre N, entier ou fractionnaire. Nous verrons plus loin comment ils calculaient ce "côté", avec... des baguettes !

Rappel

Dans le N^o 2 de notre bulletin régional, j'ai relaté comment les Chinois utilisaient de simples baguettes de bambou pour compter, effectuer les quatre opérations et résoudre des problèmes. Les nombres étaient représentés dans un système de numération décimal de position (même si, pour éviter les confusions de lecture, on disposait de deux séries de chiffres : l'une destinée aux unités de rang pair, l'autre aux unités de rang impair) :

Pour écrire les nombres, on disposait les baguettes sur des damiers à calcul, ou Suan Pan.
Exemples :

Une unité absente était représentée par un vide :

Repères historiques

L'usage des baguettes pour compter est apparu à l'époque des Printemps et Automnes (770 -- 476 av. J.-C.). Vers 200 av. J.-C., on commence à effectuer les quatre opérations, puis à résoudre des problèmes, toujours avec des baguettes. Les premiers écrits mathématiques connus datent de la dynastie des Han (de 202 av. J.-C. jusqu'en 220). De cette époque est issu le grand classsique de la tradition mathématique chinoise : Les neuf chapitres sur les procédures mathématiques. Il s'agit d'un résumé des savoir-faire de ce temps, qui a servi de référence pendant près d'un millénaire. Au chapitre quatre de ce traité, on trouve un algorithme de calcul du "côté d'un nombre" : c'est dire que, dès le début du 1^ier siècle, on savait, en Chine, extraire la racine carrée d'un nombre. Nous allons voir cela d'un peu plus près.

Racine carrée de 126 736

Présentation et première étape

La représentation de 126736 dans un Suan Pan était accompagnée d'un repère en deuxième ligne, pour indiquer le rang des chiffres au cours des calculs :

Dans la première étape du calcul, on décalait le repère de deux rangs en deux rangs vers la gauche :

Deuxième étape

On recherche la racine carrée entière de 12, soit 3, qu'on place en haut de la tablette, au rang des centaines. Son carré 9 est placé au-dessus du repère :

On fait ensuite la soustraction 126736-90000=36736, et on remplace le nombre initial par ce résultat (2^ieme ligne). On place ensuite le double du premier chiffre 3 de la racine (soit 6) au-dessus du repère, puis on décale comme indiqué dans le deuxième tableau (noter le changement du chiffre 6, dû au passage à l'unité de rang inférieur) :

Troisième étape

On effectue maintenant les calculs sur les nombres marqués par le repère : 367 en 2^ieme ligne, 60 en 3^ieme ligne. On recherche le plus grand entier d tel que d²+60d≤367. On place cet entier 5 en haut de la tablette, comme chiffre des dizaines de la racine. Dans les résultats intermédiaires, au-dessus du repère, on place 60×5=300 (3^ieme ligne), et 5²=25 (4^ieme ligne) :

Quatrième étape

36736-(30000+2500)=4236 : comme dans la 2^ieme étape, on place ce nombre en 2^ieme ligne, puis on double la racine (35×2=70) et on recommence les décalages :

Dernière étape

On cherche le plus grand entier u tel que u²+700u≤4236. On place cet entier 6 en haut de la tablette, comme chiffre des unités de la racine. Les résultats intermédiaires sont ici 700×6=4200 (3^ieme ligne), et 6²=36 (4^ieme ligne) :

On remarque que 4236-(4200+36)=0, ce qui signifie que 356 est la racine carrée exacte de 126736.

Justification

Dans Les neuf chapitres, l'algorithme de calcul du "côté d'un nombre" était donné sans aucune justification : on ne s'intéressait qu'au savoir-faire. Il est cependant aisé de comprendre ce qui se passe : La racine carrée de 126736 peut s'écrire 100c+10d+u, où c est le chiffre des centaines, d celui des dizaines et u celui des unités. On a alors :

126736=(100c+10d+u)²=10000c²+100d²+u²+2000cd+200cu+20du

Après avoir trouvé c=3, il vient :

126736-90000=36736=100d²+6000d+600u+20du+u²

Nous voici au début de la troisième étape. Après avoir trouvé d=5, les calculs se simplifient encore : 36736=2500+30000+600u+100u+u²

4236=700u+u².

Il est alors immédiat que u=6.

Pour terminer, on comparera cet algorithme à celui que les plus anciens d'entre nous ont pratiqué en d'autres temps, et que je reproduis ci-contre sans commentaire :

NOTE : Des baguettes pour compter, Aix Marseille Vert N^o 2 (Avril, Mai, Juin 2000).