\documentclass[10pt]{article} \usepackage[applemac]{inputenc} %pas nŽcessaire avec mllatex ou frlatex % Fourier for math | Utopia (scaled) for rm | Helvetica for ss | Latin Modern for tt \usepackage{fourier} % math & rm \usepackage[scaled=0.875]{helvet} % ss \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} %tt \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \usepackage{slashbox} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\texteuro{}} \usepackage[dvips]{color} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree} \setlength\paperheight{297mm}%10 \setlength\paperwidth{210mm} \setlength{\textheight}{25cm} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \setlength{\voffset}{-2,5cm} \usepackage{fancyhdr} %\pagestyle{fancy} \usepackage{frenchle} \begin{document} % entte et bas de page \rhead{\small BaccalaurŽat S 31 mars 2005}%tapez un titre \lfoot{\small{PondichŽry}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} { \Large \textbf{\gray \decofourleft~BaccalaurŽat S PondichŽry 31 mars 2005 \decofourright}} \end{center} \vspace{1cm} \noindent \textbf{\textsc{\gray Exercice 1} \hfill 4 points} \noindent \textbf{Commun ˆ tous les candidats} On considre la fonction $f$, dŽfinie sur $[1~;~ + \infty[$ par \[\colorbox{yellow}{$ f(t) = \cfrac{\text{e}^t}{t}$.}\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Justifier la continuitŽ de $f$ sur $[1~;~ + \infty[$. \item Montrer que $f$ est croissante sur $[1~;~ + \infty[$. \end{enumerate} \item \textbf{Restitution organisŽe de connaissances} On pourra raisonner en s'appuyant sur le graphique fourni. Pour tout rŽel $x_{0}$ de $[1~;~ + \infty[$, on note $\mathcal{A}(x_{0})$ l'aire du domaine dŽlimitŽ par la courbe reprŽsentant $f$ dans un repre orthogonal, l'axe des abscisses et les droites d'Žquations $x = 1$ et $x = x_{0}$. On se propose de dŽmontrer que la fonction ainsi dŽfinie sur $[1~;~ + \infty[$ est une primitive de $f$. \begin{enumerate} \item Que vaut $\mathcal{A}(1)$ ? \item Soit $x_{0}$ un rŽel quelconque de $[1~;~ + \infty[$ et $h$ un rŽel strictement positif. Justifier l'encadrement suivant : \[f(x_{0}) \leqslant \cfrac{ \mathcal{A}(x_{0}+ h) - \mathcal{A}(x_{0})}{h} \leqslant f(x_{0} + h).\] \item Lorsque $x_{0} >1$, quel encadrement peut-on obtenir pour $h < 0$ et tel que $x_{0} + h \geqslant 1$ ? \item En dŽduire la dŽrivabilitŽ en $x_{0}$ de la fonction $\mathcal{A}$ ainsi que le nombre dŽrivŽ en $x_{0}$ de la fonction $\mathcal{A}$. \item Conclure. \begin{center}\psset{xunit=2.5cm, yunit=1.2cm}\begin{pspicture}(2.5,5) \psaxes{->}(0,0)(2.5,5.2) \psline[linestyle=dotted](1,0)(1,2.71828)(0,2.71828) \psline[linestyle=dotted](1.2,0)(1.2,2.7668) \psline[linestyle=dotted](1.35,0)(1.35,2.8574) \psplot[plotstyle=curve]{0.5}{2.5}{2.71828 x exp x div} \uput[l](0,2.71828){e} \uput[d](1.2,0){$x_{0}$} \uput[d](1.45,0.08){$x_{0} + h$} \end{pspicture} \end{center} \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{1cm} \noindent \textbf{\textsc{\gray Exercice 2} \hfill 5 points} \noindent \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spŽcialitŽ} Le plan complexe P est rapportŽ ˆ un repre orthonormal direct \Ouv. On dŽsigne par I le point d'affixe $z_{\text{I}} =1$, par A le point d'affixe $z_{\text{A}} = 1 - 2 \text{i}$, par B le point d'affixe $-2 + 2\text{i}$ et par ($\mathcal{C}$) le cercle de diamtre [AB]. \noindent On fera une figure que l'on compltera avec les diffŽrents ŽlŽments intervenant dans l'exercice. On prendra pour unitŽ graphique 2 cm. \begin{enumerate} \item DŽterminer le centre $\Omega$ du cercle ($\mathcal{C}$) et calculer son rayon. \item Soit D le point d'affixe $z_{\text{D}} = \cfrac{3+9\text{i}}{4+2\text{i}}$. ƒcrire $z_{\text{D}}$ sous forme algŽbrique puis dŽmontrer que D est un point du cercle ($\mathcal{C}$). \item Sur le cercle ($\mathcal{C}$), on considre le point E, d'affixe $z_{\text{E}}$, tel qu'une mesure en radians de $\left(\vect{\Omega\text{I}},~\vect{\Omega\text{E}}\right)$ est $\cfrac{\pi}{4}$. \begin{enumerate} \item PrŽciser le module et un argument de $z_{\text{E}} + \cfrac{1}{2}$. \item En dŽduire que $z_{\text{E}} = \cfrac{5\sqrt{2} - 2}{4} + \cfrac{5\sqrt{2}}{4}\text{i}$. \end{enumerate} \item Soit $r$ l'application du plan P dans lui-mme qui ˆ tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que : \[\colorbox{yellow}{$z' + \cfrac{1}{2} = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}\left(z + \cfrac{1}{2}\right)$}\] \begin{enumerate} \item DŽterminer la nature de $r$ et ses ŽlŽments caractŽristiques. \item Soit K le point d'affixe $z_{\text{K}} =2$. DŽterminer par le calcul l'image de K par $r$. Comment peut-on retrouver gŽomŽtriquement ce rŽsultat ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{1cm} \noindent \textbf{\textsc{\gray Exercice 2} \hfill 5 points} \noindent \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spŽcialitŽ} Le plan complexe est rapportŽ a un repre orthonormal direct \Ouv. On considre l'application $f$ qui au point $M$ d'affixe $z$ fait correspondre le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que : \[\colorbox{yellow}{$z' = \cfrac{3+4\text{i}}{5}\overline{z} + \cfrac{1 - 2\text{i}}{5}.$}\] \begin{enumerate} \item On note $x$ et $x',~ y$ et $y'$ les parties rŽelles et les parties imaginaires de $z$ et $z'$. DŽmontrer que : $\left\{\begin{array}{l c l} x' &= & \cfrac{3x+4y+1}{5}\\ y' & = & \cfrac{4x - 3y - 2}{5}\\ \end{array}\right.$ \item \begin{enumerate} \item DŽterminer l'ensemble des points invariants par $f$. \item Quelle est la nature de l'application $f$ ? \end{enumerate} \item DŽterminer l'ensemble D des points $M$ d'affixe $z$ tels que $z'$ soit rŽel. \item On cherche ˆ d\'eterminer les points de D dont les coordonnŽes sont entires. \begin{enumerate} \item Donner une solution particulire $(x_{0} ,~y_{0})$ appartenant a $\Z^2$ de l'Žquation $4x - 3y = 2$. \item Determiner l'ensemble des solutions appartenant \`a $\Z^2$ de l'Žquation $4x -3y = 2$. \end{enumerate} \item On considre les points $M$ d'affixe $z = x+ \text{i}y$ tels que $x = 1$ et $y \in \Z$. Le point $M' = f(M)$ a pour affixe $z'$. DŽterminer les entiers $y$ tels que Re($z'$) et lm($z'$) soient entiers (on pourra utiliser les congruences modulo 5). \end{enumerate} \vspace{1cm} \noindent \textbf{\textsc{\gray Exercice 3} \hfill 5 points} Commun ˆ tous les candidats L'espace E est rapportŽ ˆ un repre orthonormal \Oijk. On considre les points A, B et C de coordonnŽes respectives (1 ; 0 ; 2), (1 ; 1 ; 4) et $(-1~;~1~;~1)$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que les points A, B et C ne sont pas alignŽs. \item Soit $\vect{n}$ le vecteur de coordonnŽes $(3~;~4~;~-2)$. VŽrifier que le vecteur $\vect{n}$ est orthogonal aux vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{AC}}$. En dŽduire une Žquation cartŽsienne du plan (ABC). \end{enumerate} \item Soient P$_{1}$ et P$_{2}$ les plans d'Žquations respectives $2x + y + 2z + 1= 0$ et $x - 2y + 6z = 0$. \begin{enumerate} \item Montrer que les plans P$_{1}$ et P$_{2}$ sont sŽcants selon une droite D dont on dŽterminera un systme d'Žquations paramŽtriques. \item La droite D et le plan (ABC) sont-ils sŽcants ou bien parallles ? \end{enumerate} \item Soit $t$ un rŽel positif quelconque. On considre le barycentre $G$ des points A, B et C affectŽs des coefficients respectifs 1, 2 et $t$. \begin{enumerate} \item Justifier l'existence du point $G$ pour tout rŽel positif $t$. Soit I le barycentre des points A et B affectŽs des coefficients respectifs 1 et 2. DŽterminer les coordonnŽes du point I. Exprimer le vecteur $\vect{\text{I}G}$ en fonction du vecteur $\vect{\text{IC}}$. \item Montrer que l'ensemble des points $G$ lorsque $t$ dŽcrit l'ensemble des nombres rŽels positifs ou nuls est le segment [IC] privŽ du point C. Pour quelle valeur de $t$, le milieu J du segment [IC] co•ncide-t-il avec $G$ ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{1cm} \noindent \textbf{\textsc{\gray Exercice 4} \hfill 6 points} \noindent \textbf{Commun ˆ tous les candidats} Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_{n} = \cfrac{n^{10}}{2^n}$. On dŽfinit ainsi une suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$. \begin{enumerate} \item Prouver, pour tout entier naturel $n$ non nul, l'Žquivalence suivante : \[u_{n+1} \leqslant 0,95u_{n} \quad \text{ si et seulement si} \quad \left(1 + \cfrac{1}{n}\right)^{10} \leqslant 1,9.\] \item On considre la fonction $f$ dŽfinie sur $[1~;~+ \infty[$ par \[\colorbox{yellow}{$f(x) = \left(1 + \cfrac{1}{x}\right)^{10}.$}\] \begin{enumerate} \item ƒtudier le sens de variation et la limite en $+ \infty$ de la fonction $f$. \item Montrer qu'il existe dans l'intervalle $[1~;~+ \infty[$ un unique nombre rŽel $\alpha$ tel que $f(\alpha) =1,9$. \item DŽterminer l'entier naturel $n_{0}$ tel que $n_{0} - 1 \leqslant \alpha \leqslant n_{0}$. \item Montrer que, pour tout entier naturel $n$ supŽrieur ou Žgal ˆ 16, on a : \[\left(1 + \cfrac{1}{n}\right)^{10} \leqslant 1,9.\] \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item DŽterminer le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$ ˆ partir du rang 16. \item Que peut-on en dŽduire pour la suite ? \end{enumerate} \item En utilisant un raisonnement par rŽcurrence, prouver, pour tout entier naturel $n$ supŽrieur ou Žgal ˆ 16, l'encadrement : \[0 \leqslant u_{n} \leqslant 0,95^{n -16} u_{16}.\] En dŽduire la limite de la suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$. \end{enumerate} \end{document}