La plus ancienne publication traitant des zigzags est probablement [1] « Ein Schliessungssatz für zwei Kreise » (1965). Dans ce texte, l’auteur, O. BOTTEMA, considérant comme classique le grand théorème de Poncelet, en déduit son théorème de fermeture (Schliessungssatz), qui n’est autre que le théorème des zigzags. Nous exposons ici son idée avec une autre formulation, et nous complétons le résultat.

1 Le processus de Poncelet et le processus zigzag On se place dans le plan affine euclidien orienté.

Figure 1-a : Processus de Poncelet		Figure 1-b : Processus zigzag

Soit un couple de coniques (), (). D’un point B₀ de () on mène une tangente (T₁) à () qui recoupe () en B₂. Soit (T₃) /= (T₁) l’autre tangente issue de B₂ à () ; elle recoupe () en B₄ , et ainsi de suite (voir figure 1-a). C’est le processus de Poncelet.

Soit un couple de cercles notés par leur centre et leur rayon C(A,a) et C(D,c). Soit un point B₀ de C(A,a) et soit C₁ un point de C(D,c) tel que B₀C₁ = b où b est un nombre donné. Soit B₂ le point de C(A,a) tel que B₂ /= B₀,B₂C₁ = b. Soit C₃ le point de C(D,c) tel que C₃ /= C₁,C₃B₂ = b. et ainsi de suite (voir figure 1-b). C’est le processus zigzag.

Le grand théorème de Poncelet dit que, si B₀ = B_2n pour un couple particulier de coniques (), () et pour un entier n, alors B₀ = B_2n quel que soit le point B₀ initialement choisi sur (). Le polygone à n côtés B₀B₂...B_2n-2B₀ inscrit dans (), circonscrit à (), peut varier continûment en gardant cette propriété d’interscription.

Le théorème des zigzags dit : pour un couple de cercles C(A,a),C(D,c) et pour un entier n, il existe une longueur b telle que B₀ = B_2n (fermeture) dans le processus zigzag de point initial B₀. De plus, en faisant varier B₀ sur C(A,a), la propriété ci-dessus subsiste. Une ligne brisée régulière, fermée, de 2n côtés, dont les sommets appartiennent alternativement à C(A,a) et à C(D,c), s’appelle un zigzag-n entre les deux cercles (n allers et retours).

Dans ce qui suit, nous associons un processus zigzag entre deux cercles et un processus de Poncelet entre l’un de ces cercles et une conique, de manière que à un zigzag-n entre les deux cercles corresponde un polygone de n côtés interscrit entre l’un des cercles et la conique.

2 Problème :

C(A,a) et C(D,c) sont deux cercles, DA = d distance des centres, b longueur donnée. On choisit C₁ C(D,c). Le cercle de centre C₁ et de rayon b (assez grand) coupe C(A,a) en B₀ et B₂ /= B₀. Enveloppe de la droite (B₀B₂) quand C₁ varie sur le cercle C(A,a).

Figure 2

Solution : On prend des coordonnées polaires de pôle D, d’axe polaire (DA) orienté de D vers A, et les coordonnées cartésiennes associées. On choisit comme paramètre l’angle polaire de C₁. Les cercles C(A,a) et C(C₁,b) ont pour équation respectivement :

Le point de contact M de (B₀B₂) avec son enveloppe est l’intersection de la droite (DC₁), et de la droite (B₀B₂). On peut donc prendre pour angle polaire de M. Remplaçant dans (3) x par cos et y par sin, on trouve

On reconnaît là une équation en coordonnées polaires d’une conique () de foyer D, d’excentricité e = d/c. La directrice associée à D est la perpendiculaire à (DA) au point H défini par :

On a indiqué figure 2, une construction de la directrice utilisant la propriété de la portion de tangente entre le point de contact et la directrice d’être vue du foyer sous un angle droit.

Conclusion : si C(A,a),C(D,c),AD = d et b sont tels qu’il existe un zigzag-n de côté b entre ces deux cercles, le polygone à n côtés obtenu en joignant de proche en proche les sommets du zigzag appartenant au cercle C(A, a) est circonscrit à la conique () de foyer D, d’excentricité d/c. La distance de D à la directrice associée est h, telle que 2hd = |a² + c² - b² - d²|.

On en déduit que, si le théorème de Poncelet est vrai, le théorème des zigzags est vrai.

3 Problème réciproque : Soit la conique () définie par le foyer D, l’excentricité e et la directrice de pied H sur l’axe focal. Soit donné aussi le cercle C(A,a), de rayon a, centré en un point A du grand axe de () tel que DA = d. Soit M un point de (), soient B₀ et B₂ les points où la tangente en M à () coupe C(A,a). Nous supposons les données telles que B₀ et B₂ réels distincts. La droite (DM) coupe la médiatrice de (B₀B₂) en C₁. Trouver le lieu de C₁ quand M décrit (). Montrer que la distance C₁B₀ reste constante quand M décrit ().

Solution : Les données sont D,H,A,a,DA = d,DH = h. Orientons l’axe polaire de H vers D et posons HD = h > 0. On peut prendre pour équation polaire de () : (1 - ecos) = h. Soit M le point de coordonnées polaires (,). M se traduit par (1 - ecos) = h. Soit V l’angle à près des droites (DM) et (B₀B₂). On sait que tanV = /',' désignant la dérivée de la fonction () par rapport à donc '(1 - ecos) + esin = 0. Alors :

Cette équation ne dépend pas du changement de V en V + . Divisant par cosV et utilisant (7) :

Donc la distance de D à C₁ ne dépend pas de . On en déduit que le lieu de C₁ quand M varie sur () est le cercle C(D,c) où c = d/e. Une équation de la droite (B₀B₂) est :

Les deux équations représentant la même droite, leurs coefficients sont proportionnels :

Elevons au carré, sommons numérateurs et dénominateurs des deux premiers termes :

Remplaçant (équation polaire de () ), sin²V (par (7)) en fonction de , et c par d/e, on trouve finalement 4h²d² = (a² + c² - R² - d²)². On en déduit que C₁B₀ = R reste constant quand M décrit (). La valeur de R en fonction des données (deux solutions) est :

Conclusion : Si une conique (foyer D, excentricité e, distance du foyer à la directrice h), et un cercle de rayon a, de centre A situé sur l’axe focal de la conique, (DA = d), sont tels qu’il existe un polygone à n côtés inscrit dans le cercle et circonscrit à la conique, alors le couple des cercles C(D,d/e),C(A,a) admet un zigzag-n de côté b = R donné par (8).

On en déduit que si le théorème des zigzags est démontré, le théorème de Poncelet est vrai pour un couple particulier de coniques, à savoir une conique et un cercle centré sur l’axe focal de la conique.

Exemple : Polynôme de Poncelet associé à un zigzag-3 entre deux cercles.

Une des deux conditions de zigzag-3 entre deux cercles est (cf.[2]) :

Nous allons transformer (9) en condition d’interscription d’un triangle entre le cercle C(A,a) et la conique () (foyer D,DA = d, excentricité e, distance du foyer à la directrice h ). Pour ce faire, nous remplaçons dans (9) c et b par leurs expressions en fonction des données résultant des calculs du ß3 :

Pour e = 1 la condition d’interscription se réduit à a = d. Comme on a déja c = d du fait de e = 1, il s’agit du système classique à trois barres égales (cf.[2]) qui donne lieu à un triangle interscrit entre un cercle et une parabole.

Si () est une ellipse, e < 1 , le demi grand axe = he/(1 - e²). Pour une hyperbole, e > 1, le demi grand axe est = he/(e² - 1). Donc pour une conique à centre de demi axe focal on trouve deux relations liant a,h,e,d, ou, ce qui revient au même, a,,e,d .

On peut se donner d,e,a. La relation ci-dessus donne . Par la construction indiquée dans le ß3, ou par le calcul de b = R (voir (8)), on obtient le zigzag-3 associé, voir figure 3.

Pour e = 0, on retrouve la condition d’interscription entre deux cercles (cf.[3]).

Figure 3

4 Equivalence du théorème des zigzags et du théorème de Poncelet pour deux cercles

Dans « Triangles et quadrilatères interscrits » [3], no3, ß1, p.9 il est expliqué comment une projection conique peut échanger deux cercles situés dans des plans perpendiculaires de l’espace affine euclidien à trois dimensions. Un autre cercle, placé dans l’un des plans, est transformé dans cette projection en une conique. C’est ainsi qu’un couple de deux cercles peut être considéré comme la projection conique d’un couple (cercle, conique).

Partons du couple cercle, conique (coplanaires) dans le cas où le cercle est centré sur l’axe focal de la conique ( le cas qui nous intéresse). La figure admet un plan de symétrie perpendiculaire au plan de départ suivant la ligne des centres. Dans ce plan, on peut construire d’une part l’ensemble des points (une conique) d’où on peut projeter le cercle suivant un cercle, d’autre part l’ensemble des points (une autre conique) d’où on peut projeter la conique suivant un cercle. L’intersection des deux lieux consiste en quatre points (deux à deux symétriques) dont nous ne discutons pas pour l’instant la réalité. L’un des quatre peut servir à projeter le couple initial (cercle, conique) sur un plan perpendiculaire à leur plan et au plan de symétrie, suivant deux cercles. La direction seule du plan de projection est ainsi définie, mais, pour les deux cercles obtenus de rayons R et , de distance des centres , les rapports /R et /R ne dépendent pas du plan de projection pouvu qu’il reste parallèle à lui-même.

Le processus de Poncelet se conservant par projection conique, un polygone interscrit se transforme en polygone interscrit. Rassemblant les conclusions des ß 2 et 3 et tenant compte des considérations ci-dessus, on peut énoncer :

Le théorème des zigzags entre deux cercles est équivalent au théorème de Poncelet pour deux cercles.

Relations liant les paramètres. Couple de départ : conique(D,e,h), cercle C(A,a), DA = d , couple projeté . cercles R,,).

Les calculs sont guidés sur une figure construite comme il est expliqué plus haut, avec point de projection réel. Les homothéties permettent d’écrire les rapports qui conviennent. Nous ne donnons pas ici le détail. Le point de projection n’intervenant pas dans le résultat, les relations sont valables quel que soit le cas de figure. Les voici :

Poncelet : n-gone interscrit Zigzag à 2n côtés

n = 2 = 0 a² + c² - b² - d² = 0

n = 3 2R = R² - ² a²c² - b²d² = ac(a² + c² - b² - d²)

2R = ² - R² a²c² - b²d² = bd(a² + c² - b² - d²)

n = 4 2²(R² + ²) = (R² - ²)² (a² + c² - b² - d²)²(a²c² + b²d²) = 2(a²c² - b²d²)²

= R ac - bd = 0

L’échange de ac et bd est la traduction du changement de signe de R² -². Ce qu’on constate pour n = 2 et n = 3 est général. Pour tout n, il y a deux relations. Pour n impair, l’une se déduit de l’autre par changement de signe de R² - ² ( Poncelet), ou par échange de ac et bd ( Zigzags). Pour n pair, chaque relation est invariante par échange de ac et bd ( Zigzags), ne comporte que des puissances paires de R² - ² (Poncelet).

Le grand théorème de Poncelet a été l’objet de nombreuses démonstrations ; les propriétés des polygones interscrits ont été étudiées dans le détail par plusieurs auteurs depuis Poncelet lui-même. Le théorème des zigzags, relativement récent, est loin d’avoir suscité autant d’intérêt. L’équivalence des deux théorèmes peut apporter de l’information côté zigzags. Par exemple, si n est pair, les « diamètres » d’un n-gone interscrit sont concourants. On en déduit que pour un zigzag-2p, les p segments joignant de p en p les sommets de la ligne brisée appartenant à l’un des cercles sont concourants ; il en est de même pour les sommets de la ligne brisée appartenant à l’autre cercle (voir figure 4).

Figure 4

Références

[1] O. BOTTEMA, « Ein Schliessungssatz für zwei Kreise », Elem. Math. XX-1, p.1 à 7, 1965.

[2] F. PÉCAUT, « Zigzags », APMEP, Journées nationales 2003.

[3] F. PÉCAUT, « Triangles et quadrilatères interscrits », Bull. Rég. Aix-Marseille Vert numéro3, numéro4, numéro5, numéro6, numéro7 (année 2000).

Adresse de l’auteur : FRANÇOISE PÉCAUT, 28 rue du roi René, 84000 Avignon, France.