Problème sur la quadrature de l'hyperbole

suivant la méthode, donnée par le jésuite belge grégoire de Saint Vincent, en 1647.

par André Bonnet

Cette étude est présente dans son traité (qui comporte plus de mille pages) paru en 1647 sous le titre : « Opus geometricum quadraturae circuli et sectionum coni … ».

L’ouvrage, comme l’indique son titre, est une étude géométrique de la quadrature du cercle et des sections de cônes, mais son intérêt ne réside pas dans les quatre constructions géométriques censées résoudre le problème de la quadrature du cercle (toutes fausses bien sûr, comme nous le savons, depuis que Lindeman a démontré en 1881, la transcendance de π), mais dans son étude de l’hyperbole équilatère.

En effet, Grégoire de Saint Vincent, reprenant sans doute les idées de Descartes, envisage l’hyperbole équilatère, non pas comme une conique (c'est-à-dire une section plane d’un cône), mais comme un ensemble de points de coordonnées x et y (par rapport à un repère convenable) qui vérifient la relation x y = 1.

Sous la terminologie de « quadrature de l’hyperbole » on désigne, en réalité, l’étude de l’aire située sous l’hyperbole limitée par l’axe Ox et les verticales d’équations x = 1 et x = t.

Dans son ouvrage publié en 1647, Grégoire de Saint Vincent démontre que cette fonction (de t) possède les propriétés algébriques d’un logarithme.

Bien que le concept de dérivée n’ait été dégagé qu’un peu plus tard, par Leibniz (1646-1716) et Newton (1643-1727) et donc soit logiquement absent des préoccupations de Grégoire de Saint Vincent, on peut montrer, par une étude graphique, que cette fonction est la primitive de la fonction inverse qui s’annule en x = 1.

André BONNET
ex. Maître de Conférence à l'Université de Provence, Marseille.
andre.bonnet9@orange.fr

Présentation de la conférence qui sera donnée le 22 octobre 2008 au local de la Régionale :

Télécharger le texte du problème proposé le 26/04/2008 à la journée Régionale APMEP d’Aix-Marseille